Brownian Bewegung Gleitenden Durchschnitt

Starke Annäherung der gebrochenen Brownschen Bewegung durch gleitende Mittelwerte von einfachen zufälligen Wanderungen Paacutel Reacuteveacutesz anlässlich seines 65. Geburtstages Tamaacutes Szabados Institut für Mathematik, Technische Universität Budapest, Egry u 20-22, H eacutep. V em. Budapest, 1521, Ungarn erhielt 19. Dezember 1999, überarbeitet am 29. August 2000, angenommen 4. September 2000, Online verfügbar 9. Februar 2001Der Bruchteil einer Brownschen Bewegung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung, die vor allem dann angewendet wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit erforderlich ist. Seine explizite Einleitung ist auf Mandelbrot und van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) als selbstähnlicher Gaußscher Prozeß W (H) (t) mit stationären Inkrementen zurückzuführen. Hier bedeutet Selbstähnlichkeit das. Wobei H isin (0,1) der Hurst-Parameter der fraktionierten Brownschen Bewegung ist. F. B. Ritter gab eine Konstruktion der gewöhnlichen Brownschen Bewegung als eine Grenze der einfachen zufälligen Wege im Jahre 1961. Später wurde seine Methode von Reacuteveacutesz (Random Walk in Random und Non-Random Environments, World Scientific, Singapur, 1990) und dann von Szabados (Studia Sci Math. Hung 31 (1996) 249ndash297). Dieser Ansatz ist ganz natürlich und elementar und kann als solche auf allgemeinere Situationen ausgedehnt werden. Basierend hierzu verwenden wir die gleitenden Mittelwerte einer geeigneten verschachtelten Folge einfacher zufälliger Wanderungen, die fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brown'sche Bewegung bei Kompakten zusammenlaufen, wenn. Die Konvergenzrate ist in diesem Fall nachgewiesen. Wobei N die Anzahl der für die Näherung verwendeten Schritte ist. Wenn die genaueren (aber auch komplizierteren) Komloacutes et al. (1975, 1976) Näherung wird stattdessen verwendet, um zufällige Wanderungen in eine gewöhnliche Brownsche Bewegung einzubetten, dann konvergieren dieselbe Art von sich bewegenden Mitteln fast sicher gleichmäßig auf die fraktionierte Brownsche Bewegung auf Kompaktkörpern für jedes H isin (0,1). Darüber hinaus wird die Konvergenzrate als die bestmögliche vermutet. Obwohl hier nur bewiesen ist. Bruchteilige Brownsche Bewegung Pathwise-Konstruktion Starke Annäherung Zufälliger Weg Beweglicher Durchschnitt 1. Bruchteilige Brownsche Bewegung Die fraktionierte Brownsche Bewegung (fBM) ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Brownschen Bewegung (BM), die besonders verwendet wird, wenn eine weitreichende Abhängigkeit von wesentlicher Bedeutung ist. Obwohl die Geschichte der fBM auf Kolmogorov (1940) und andere zurückgeführt werden kann, ist ihre explizite Einführung auf Mandelbrot und van Ness (1968) zurückzuführen. Ihre Absicht war, ein Selbst-ähnliches zu definieren. Zentrierten Gaußschen Prozeß W (H) (t) (t0) mit stationären, aber nicht unabhängigen Inkrementen und mit kontinuierlichen Abtastpfaden a. s. Hier bedeutet Selbstähnlichkeit für jedes a gt0, wo H isin (0,1) der Hurst-Parameter des fBM ist und Gleichheit in der Verteilung bezeichnet. Sie zeigten, dass diese Eigenschaften fBM charakterisieren. Der Fall reduziert sich auf gewöhnliche BM mit unabhängigen Inkrementen, während die Fälle negativ (bzw. positiv) korrelierte Inkremente ergeben, siehe Mandelbrot und van Ness (1968). Es scheint, dass in den Anwendungen von fBM, der Fall ist die am häufigsten verwendete. Mandelbrot und van Ness (1968) lieferten die folgende explizite Darstellung von fBM als gleitendem Durchschnitt von gewöhnlichem, aber zweiseitigem BM: mit t 0 und (x) max (x, 0). Die Idee von (2) bezieht sich auf deterministische Fraktionskalküle. Die eine noch längere Geschichte als fBM aufweist, die auf Liouville, Riemann und andere zurückgeht, siehe Samko et al. (1993). Sein einfachster Fall ist, wenn eine stetige Funktion f und eine positive ganze Zahl gegeben sind. Dann kann eine Induktion mit Integration durch Teile zeigen, daß die Ordnung iteriertes antiderivatives (oder Ordnungsintegral) von f ist. Andererseits ist dieses Integral auch für nicht-ganzzahlige positive Werte gut definiert, wobei es in diesem Fall als ein fraktionales Integral von f bezeichnet werden kann. So ist heuristisch der Hauptteil von (2) das Ordnungsintegral des (im gewöhnlichen Sinne nicht existierenden) Weißrauschprozesses W prim (t). Somit kann das fBM W (H) (t) als eine stationäre Inkrementmodifikation des fraktionalen Integrals W (t) des Weißrauschverfahrens betrachtet werden, wobei. Gaußsche Bewegungsdurchschnitte, Semimartingales und Optionspreise Wir stellen eine Charakterisierung des Gaußschen Signals bereit Prozessen mit stationären Inkrementen, die als ein gleitender Durchschnitt in bezug auf eine zweiseitige Brownsche Bewegung dargestellt werden können. Für ein solches Verfahren geben wir eine notwendige und hinreichende Bedingung, um ein Halbmodell in bezug auf die Filtration zu sein, die durch die zweiseitige Brownsche Bewegung erzeugt wird. Weiterhin zeigen wir, dass diese Bedingung impliziert, dass das Verfahren entweder eine endliche Variation oder ein Vielfaches einer Brownschen Bewegung in Bezug auf ein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Als Anwendung diskutieren wir das Problem der Optionspreise in Finanzmodellen, die durch Gaußsche Bewegungsdurchschnitte mit stationären Schritten gefahren werden. Insbesondere leiten wir Optionspreise in einer regulierten Bruchversion des BlackndashScholes-Modells ab. Gaußsche Prozesse Gleitende Durchschnittsdarstellung Semimartingale Gleichwertige Martingalmaßnahmen Optionspreise 1. Einleitung Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, der mit einer zweiseitigen Brownschen Bewegung ausgestattet ist. Dh ein kontinuierlicher zentrierter Gaußscher Prozeß mit Kovarianz Für eine Funktion, die null auf der negativen reellen Achse ist und für alle t gt0 genügt, kann man den zentrierten Gaußschen Prozeß mit stationären Inkrementen definieren. Der Zweck dieser Arbeit ist die Untersuchung von Prozessen von Die Form (1.1) im Hinblick auf die finanzielle Modellierung. Wenn (X t) t 0 ein stochastischer Prozess ist. Wir bezeichnen die kleinste Filtration, die die üblichen Annahmen erfüllt und die Filtration enthält. Wir bezeichnen die kleinste Filtration, die die üblichen Annahmen erfüllt und die Filtration enthält. Die Struktur des Papiers ist wie folgt. In Abschnitt 2 erinnern wir an ein Ergebnis von Karhunen (1950). Was die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für ein stationäres zentriertes Gauß-Verfahren in der Form darstellen lässt. In Abschnitt 3 geben wir eine Charakterisierung jener Prozesse der Form (1.1) an, die - semimartingales sind, und zeigen, daß es sich um endliche Variationsprozesse handelt oder für jedes T isin (0, infin) ein äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß existiert (Y t) t isin0 ist, T ein Vielfaches einer Brownschen Bewegung ist. In Abschnitt 4 wenden wir eine Transformation an, die in Masani (1972) eingeführt wurde, um eine eineindeutige Entsprechung zwischen stationären zentrierten Gaußschen Prozessen und zentrierten Gaußschen Prozessen mit stationären Inkrementen herzustellen, die Null für t & sub0; sind. Dies ermöglicht es, das Karhunens-Ergebnis zu zentrieren Gaußsche Prozesse mit stationären Inkrementen und zeigen, dass jeder Vorgang der Form (1.1) durch Semimartingales der Form (1.1) angenähert werden kann. Durch die Übertragung der Ergebnisse aus Abschnitt 3 auf den Rahmen stationärer zentrierter Gaußscher Prozesse erhält man eine Erweiterung des Satzes 6.5 von Knight (1992). Die eine notwendige und hinreichende Bedingung für einen Prozeß der Form (1.2) darstellt, um ein - Memartartingale zu sein. In Abschnitt 5 diskutieren wir das Problem der Optionspreise in Finanzmodellen, die von Prozessen der Form (1.1) angetrieben werden. Als Beispiel veranschlagen wir eine europäische Call-Option in einem regulierten Fractional BlackndashScholes-Modell. Referenzen 1 Cheridito, P. (2001). Regularisierung der fraktionalen Brownschen Bewegung mit Blick auf die Aktienkursmodellierung. Ph. D. Dissertation, ETH Zürich. 2 Cherny, A. S. (2007). Allgemeine Arbitrage-Preismodelle: Transaktionskosten. In SxE9minaire de ProbabilitxE9s XL. Vorlesungsunterlagen in Mathematik 1899 447x2013462. Springer, Berlin. 3 Cvitanix107, J. Pham, H. und Touzi, N. (1999). Eine geschlossene Lösung für das Problem der Superreplikation unter Transaktionskosten. Finanzen und Stochastik 3 35x201354. 4 Guasoni, P. RxE1sonyi, M. und Schachermayer, W. (2008). Konsequente Preissysteme und Face-Lifting-Preise unter den Transaktionskosten. Ann. Appl. Probab 18 491x2013520. 5 Kabanov, Yu. M. und Stricker, C. (2007). Auf Martingal Selektoren der Kegel-Wert-Prozesse. Vorabdruck. 6 Levental, S. und Skorokhod, A. V. (1997). Über die Möglichkeit der Absicherung von Optionen in Anwesenheit von Transaktionskosten. Ann. Appl. Probab 7 410x2013443.7 Mandelbrot, B. und Van Ness, M. (1968). Bruchteilige Brownsche Bewegungen, Bruchgeräusche und Anwendungen. SIAM. Rev. 10 422x2013437.8 Soner, H. M. Shreve, S. E. und Cvitanix107, J. (1995). Es gibt kein nichttriviales Sicherungsportfolio für die Optionspreise mit Transaktionskosten. Ann. Appl. Probab 5 327x2013355.9 Yosida, K. (1980). Funktionsanalyse. Springer, Berlin. Mathematical Reviews (MathSciNet): MR617913 Neue Inhalte Sie haben Zugriff auf diese Inhalte. Sie haben teilweise Zugriff auf diese Inhalte. Sie haben keinen Zugriff auf diese Inhalte.